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    Revista Tecnológica

    Print version ISSN 1729-7532

    Rev. Tecnológica vol.14 no.20 La Paz  2018

     

    MATEMÁTICA

     

    Proceso estocástico cadenas finitas de Markov (FMC),
    movimiento de carga y valor portuario exportable de Bolivia
    y su acceso a los océanos Pacífico y Atlántico

     

    Stochastic process finite chains Markov (FMC), movement of port cargo and value exportable from
    Bolivia and its access to the Pacific and Atlantic oceans

     

     

    Erick C. Grudner Carranza*
    (*), Químico Industrial,
    Consultor Productividad, Calidad e Innovación Tecnológica,
    Diplomado Investigación Operativa,
    Editor Revista Tecnológica,
    Facultad de Tecnología - UMSA.
    History of the article: Received:
    25/05/2018. Style review: 27/05/2018. Accepted: 05/06/2018.

     

     


    Resumen

    En este artículo, se propone una estrategia en función del tiempo y sus consecuencias para disminuir la dependencia que tiene el país por puertos chilenos. A través de un proceso estocástico de Cadenas Finitas de Markov (FMC), aplicado al movimiento de carga y valor portuario exportable de Bolivia y su acceso al Océano Pacífico (puerto de Matarani territorio peruano) y hacia el Océano Atlántico (utilizando el Canal Tamengo y la HPP). Estableciendo una proyección factible a mediano plazo de investigación operativa que permita reducir significativamente en 18 años y en adelante esta dependencia. Siempre y cuando la estrategia sea complementada con políticas de comercio exterior.

    Palabras Clave: Procesos estocásticos, cadenas de Markov, producto iterativo fila-columna, diagramas de dispersión, comercio exterior, Sistema portuario canal de Tamengo.


    Abstract

    In this article, a strategy based on time and its consequences is proposed to reduce the country's dependence on Chilean ports. Through a stochastic process of Finite Markov Chains (FMC), applied to the cargo movement and port exportable value of Bolivia and its access to the Pacific Ocean (Matarani port of Peruvian territory) and to the Atlantic Ocean (using the Tamengo Canal and HPP). Establishing. A feasible medium-term projection of operational research and applied mathematic that allows to reduce this dependence significantly in 18 years and beyond. As long as the strategy is complemented with foreign trade policies.

    Keywords: Stochastic processes, Markov chains, iterative row-column product, dispersion diagrams, foreign trade, Tamengo Canal Port System.


    Resumo

    Neste artigo, propõe-se uma estratégia baseada no tempo e suas conseqüências para reduzir a dependência do país dos portos chilenos. Através de um processo estocástico de Cadeias de Markov Finitas (FMC), aplicado ao movimento de cargas e valor exportável portuário da Bolívia e seu acesso ao Oceano Pacífico (porto Matarani do território peruano) e ao Oceano Atlântico (usando o Canal Tamengo e HPP). Estabelecendo. Uma projeção de médio prazo de pesquisa operacional e matemática aplicada que permita reduzir significativamente essa dependência em 18 anos e além. Enquanto a estratégia for complementada com políticas de comércio exterior.

    Palavras-Chave: Processos estocásticos, Cadeias de Markov, produtos de linha-coluna iterativo, diagramas de dispersão, comércio exterior canal da porta do sistema Tamengo.


     

     

    INTRODUCCIÓN

    La matriz boliviana de exportación, está formada por dos grandes grupos genéricos1: Productos Tradicionales2 (T) y No Tradicionales3 (NoT). Es así, que para comercializar productos de un grupo determinado grupo o de ambos, el comercio exterior boliviano ha ido implementando vías de transporte intrafronterizos y ex fronterizos, de acuerdo con las características de los productos y el mercado final de éstos, desarrollando además canales de distribución (especialmente transporte y almacenaje) para la carga de productos a ser enviados por vía marítima.

    Con relación a las vías del transporte ex fronterizo que apoyan el comercio exterior boliviano, la tabla 1 muestra los lugares de salída y el producto principal exportable que atravesó por nuestras fronteras en 2017, para posteriormente llegar a diferentes localidades de los países circundantes a Bolivia y un porcentaje menor ser embarcado en diferentes puertos vecinos [5]. Al respecto, el comercio exterior de nuestro país tiene cinco convenios por el Pacífico: Antofagasta, Arica e Iquique (Chile) Matarani4 e Ilo5 (Perú). Tres licencias portuarias por el Atlántico: Nueva Palmira (Uruguay) y Villeta (Paraguay) que ofrecen un depósito franco6 respectivamente, y una zona franca7 otorgada en Rosario (Argentina). [4]

    El puerto de Paranaguá en Brasil, es otro convenio que aun no tiene definido si es depósito o zona franca [4]. Accediendo a estos espacios portuarios a través de la Hidrovía Paraguay - Paraná (HPP) que se extiende desde puerto Cáceres Brasil, hasta puerto Nueva Palmira Uruguay. Enlazándose Bolivia con la HPP, por el Sistema Fluvial Portuario Canal Tamengo SFPCT, donde se localizan los puertos Jennefer8, Aguirre9, Gravetal10 y el canal de Tamengo.11 [6], ver figura 1.

    A este sistema SFPCT también puede agregarse, puerto Bush con 48 kilómetros de ribera sobre el río Paraguay, único puerto en territorio boliviano, con soberanía sobre aguas internacionales. Es así que implementado el puerto multipropósito más la vía férrea Motacucito-Mutún-Puerto Busch, la capacidad de carga de puerto Bush aumentaría notablemente. [2]

    Matriz exportable de Bolivia

    El resumen de la matriz exportable actual, se presenta en la tabla 2.

    Actual estructura portuaria de Bolivia

    En general la carga de exportación boliviana, utiliza en mayor proporción tres puertos localizados en Chile, uno en el Perú (vía Pacífico) y el SFPCT Sistema Fluvial Portuario Canal de Tamengo que a través de la HPP vincula el acceso de las exportaciones hacia ultramar (vía Atlántico). La tabla 3, contiene una relación preliminar para la carga y valor exportado por cada puerto a ultramar el año 2017.

    La relación mostrada en la tabla 3, permite establecer que por los tres puertos chilenos se transporta a ultramar alrededor del 94,1 y 81,5 porciento en valor y carga, del total exportado hacia ultramar. Significativa dependencia que el país tiene por estos puertos [8], causada por el enclaustramiento marítimo y la menor distancia para el transporte histórico de minerales desde las minas del occidente boliviano hasta ultramar, característica que aun se mantiene y marca las exportaciones actuales por estos tres puertos [9], no obstante, en los últimas años se han ido proponiendo nuevas vías de exportación a través de los puertos peruanos y el Sistema Fluvial Portuario Tamengo SFPCT (conexión HPP - Océano Atlántico), en la búsqueda de opciones que disminuyan o eliminen esta dependencia, ofreciendo al país nuevas condiciones para el comercio internacional.

    Planteamiento temático

    Bajo esta nueva perspectiva, en el presente artículo, se estudia una posible estrategia12 en función del tiempo y sus consecuencias para migrar el movimiento exportable de carga y valor hacia el puerto de Matarani (Perú) y el SFPCT (Pto. Quijarro - Arroyo Concepción, Santa Cruz -Bolivia). Aplicando un proceso estocástico de Cadenas Finitas de Markov (FMC), al movimiento de carga y valor portuario exportable de Bolivia y su acceso al Océano Pacífico (territorio peruano) y hacia el Océano Atlántico (utilizando el Canal Tamengo y la HPP).

     

    DESARROLLO

    Proceso estocástico

    Afecta a todo proceso (conjunto de etapas sucesivas de un fenómeno natural o de una operación artificial), que se desarrolla y controla siguiendo una ley de probabilidad, ley que a su vez dependen del tiempo. Así, un proceso estocástico discreto o continuo es una serie de variables aleatorias (probabilidades) que proveen una descripción de la evolución de un determinado fenómeno a través del tiempo. Mostrando todos los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria Xt.

    Axiomas relacionados con las Cadenas de Markov

    Una sucesión de observaciones X1, X2, ....., X, se define como un

    proceso estocástico, cuando sus valores no se pueden predecir exactamente; sin embargo, se consigue especificar estos valores en función del tiempo, aplicando probabilidades. Así, para cada estado inicial s1 y sucesivos espacios sn de los estados Xn, n = 2, 3...., la probabilidad de estos estados Xn en relación al espacio muestral s, se representa por la probabilidad condicional:

    Cadenas de Markov: Proceso estocástico especial donde la probabilidad del estado futuro Xn+1 no depende de los estados anteriores X1,..., X n-1, pero sí depende del estado actual Xn. Es decir, que para n = 1, 2,..., y cualquier sucesión de estados sn..., sn+1 la probabilidad condicional es:

    Cadena de Markov finita: Cadena de Markov para la que existe sólo un número finito k de estados posibles s1..., sk y en cualquier instante de tiempo, está en uno de estos k estados.

    Probabilidad de transición

    Corresponde a la probabilidad condicional:

    Probabilidad de transición estacionaria

    Una cadena de Markov tiene probabilidades de transición estacionarias si para cualquier par de estados si y sj existe una probabilidad de transición pij tal que:

    Matriz estocástica

    Matriz cuadrada cuyos elementos son no negativos y la suma de los elementos de cada fila es igual a 1.

    Matriz de transición en un solo paso

    Dada una cadena de Markov con k estados posibles s1 ...., sk y probabilidades de transición estacionarias.

    La matriz de transición P para cualquier cadena de Markov finita con probabilidades de transición estacionarias, también se define como una matriz estocástica.

    Matriz de transición en varios pasos

    Para una cadena de Markov con k posibles estados sl...., sk, y pij(2) elemento de la i-ésima fila y i-ésima columna de la matriz P2 es igual a:

    Generalizando

    Vector de probabilidad inicial

    El vector de probabilidad inicial y la matriz de transición fijan la probabilidad estado de la cadena en un instante de tiempo, considerando la multiplicación de matrices fila-columna vP.

    Propiedades de la multiplicación fila-columna que establecen la probabilidad estado de la cadena en un instante de tiempo:

    • Suma de probabilidades de los estados igual a 1.

    • Matriz de transición cuadrada (fxc) f=c.

    • Las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1.

    Además, si las probabilidades de los diversos estados en el instante n se especifican por el vector de probabilidades w, entonces, las probabilidades en el instante n + 1, se describen de acuerdo con el vector de probabilidades wP.

    Aplicación

    Asumiendo que las proporciones pueden representarse como probabilidades, los porcentajes de participación (tabla 3, estructura portuaria actual), establecen el vector de probabilidad inicial, así para la carga será:

    Con relación a la matriz de transición, se consideraron diferentes alternativas. En la figura 2, se tienen cuatro matrices de transición (acción), con diferentes alternativas de movimiento desde puertos chilenos a Matarani (Perú) y al SPFCT, que originaron un proceso de cálculo iterativo y la respectiva concentración de resultados para cada componente portuario del vector principal (diagrama de dispersión). Identificándose que cuanto menor es el porcentaje asignado para el movimiento de carga, la concentración de puntos discretos está a mayor número de iteraciones. Caso A y viceversa caso D movimiento de carga de Antofagasta (ANT) a SFPCT, Caso B y C movimiento carga Arica (A) a Matarani (M).

    Entre las diferentes alternativas para la matriz de transición, una que concentra los resultados en un menor número de iteraciones es la correspondiente al caso D (figura 2), amplificada en la figura 3 y útil para la estrategia propuesta.

    Complementa a este diagrama de dispersión Pm, la matriz de transición iterada en m pasos, introduciendo en cada repetición, un nuevo vector v.

    Una tendencia equivalente se presenta al iterar las proporciones (probabilidades) para el vector inicial del valor:

    que en relación con la matriz de transición (cuatro alternativas), proporciona los siguientes diagramas de dispersión: caso A y D movimiento de valor de Antofagasta (ANT) a SFPCT, caso B y C movimiento de valor Arica (A) a Matarani (M):

    El diagrama ampliado (caso D) y la iteración en función del tiempo, se representan en la figura 4.

    Análisis de resultados

    Las iteraciones producto fila-columna que calculan el vector respectivo en función del tiempo, (movimiento de carga y valor portuario), en ambos casos, proporcionan puntos discretos (resultados) siguiendo una disposición característica (figuras 2, 3 y 4) y concentran estos puntos en zonas definidas o comunes. Estableciendo tanto para la carga como para el valor, dos tendencias competitivas antagónicas importantes, La primera SFPCT - Antofagasta y la segunda Arica - Matarani e influencia de Iquique. Ilustraciones 1 y 2 (movimiento de carga).

    Para la carga, combinación SFPCT-Antofagasta, los puntos ascendentes como los descendentes se agrupan en el intervalo 16 a 17, por lo tanto para llegar al punto común de intersección, el tratamiento implicaría considerar el tiempo de manera continua (valores consecutivos sobre la recta real).

    En la segunda combinación Arica-Matarani, las tendencias convergen en un determinado punto común coordenadas 23 y 0,233, en consecuencia la variable tiempo podría ser considerada discreta (sólo para Z+ números naturales positivos). Comportamiento que también es similar para las iteraciones del valor de movimiento portuario.

    Si bien el producto matriz-fila, proporciona valores para el vector de estado asumiendo periodos de tiempo discretos, se desarrollaron las siguientes expresiones seriales (Ec. 1a y1b) para la probabilidad (vector de estado) en función del tiempo, que pueden ser utilizadas tanto para periodos de tiempo continuo o discretos:

    Aplicación y sistema de cálculo: La figura 5, muestra una hoja desarrollada para Excel, a partir de las expresiones seriales indicadas en el parágrafo anterior que calcula las probabilidades modificando la variable t (número marcado en círculo) y compara con el valor obtenido producto fila-columna (iteración cadena de Markov).

    El análisis efectuado puede extenderse aun más, pero para el propósito de la estrategia de migración de carga/ valor portuario, proporciona datos importantes, sobre los cuales es posible proyectar el comportamiento a futuro y la acción inicial de movimiento que permita disminuir la dependencia de puertos chilenos que actualmente tiene Bolivia.

     

    CONCLUSIONES

    El proceso estocástico Cadenas Finitas de Markov CFM, ejercicio matemático aplicado iterativamente (producto fila-columna), además complementado con expresiones seriales para determinar probabilidades en función del tiempo por separado. Permiten plantear la acción inicial del movimiento de carga/valor portuario, y proyectar su comportamiento futuro, considerando los siguientes aspectos de investigación operativa:

    Elegida una matriz de transición cautelosa que permita mover cantidades pequeñas de carga para la migración portuaria, esta, corresponde a transferir anualmente:

    • 3 porciento carga total de Antofagasta hacia el SFPCT,

    • 2 porciento carga total de Arica a Matarani y SFPCT 1:1,

    • 1 porciento carga total de Iquique a Matarani.

    Las proporciones de participación base para carga y valor portuario (tabla 3), son tomadas en cuenta como probabilidades individuales que conforman los vectores iniciales:

    Efectuado el proceso de iteración producto fila-columna movimiento de carga, para la combinación competitiva Antofagasta-SFPCT, si bien el aumento y descenso es gradual, de la iteración 16 (16 años) en adelante la participación es significativa, aumentando SFPCT de 3,2 a 23,6 porciento y disminuyendo el puerto de Antofagasta del 39,6 al 24,3 por ciento, manteniendo una tendencia decreciente. Para la combinación Arica-Matarani, el comportamiento es similar, y se esperaría que a partir de la iteración 23 (23 años) el puerto de Matarani vaya a incrementar su movimiento de carga del 15,4 al 23,3 porciento, y el puerto de Arica reduzca su participación del 37,1 al 23,3 porciento, manteniéndose casi invariable el puerto de Iquique. El mismo comportamiento se tiene para el cambio de participación en valor, notándose que los periodos de tiempo para estos cambios significativos son mayores. Ver tabla 4.

    En consecuencia, tomando una decisión este año, para aprovechar la matriz de transición (estrategia) indicada anteriormente, cambios significativos en el movimiento de carga/valor que disminuyan la dependencia del comercio exterior de Bolivia en los puertos chilenos se pueden conseguir en un mínimo de 16 a 18 años. Si actualmente la dependencia en carga y valor para estos tres puertos respectivamente está alrededor de 81,5 y 91,4 porciento, en 18 años, es posible disminuir hasta el 55,3 y 59,1 porciento con tendencia marcada a la baja.

    Proyección a mediano plazo, factible siempre y cuando se cualifique el tipo de exportación y la regularidad de las transferencias sean sostenibles, se disminuyan los fletes carreteros en general, se mejoren principalmente las condiciones de infraestructura y fluviales del SFPCT, se mantengan los acuerdos internacionales sobre el uso de las aguas de la Hidrovía Paraná-Paraguay HPP y con el Perú sobre el uso de puertos. Aspectos esenciales y complementarios entre otros de comercio exterior (políticas) que facilitarían el acceso y movimiento exportable de carga/valor hacia el puerto de Matarani, Perú (Océano Pacífico) y el Sistema Fluvial Portuario Canal Tamengo SFPCT (Pto. Quijarro, Arroyo Concepción, Santa Cruz - Bolivia) Océano Atlántico.

     

    Notas

    1 Segmentación que porcentualmente para el periodo 2014 a 2017 muestra la relación 91 T a 9 NoT, es decir que por cada (10t) que se exportan, nueve corresponden a T y una a NoT. Complementariamente en millones de dólares la relación porcentual es 81T a 19 NoT, es decir, que por cada diez millones de dólares americanos en valor de las exportaciones, aproximadamente ocho corresponden a T y dos a los NoT. [1]

    2 (T) Gas natural, petróleo, derivados y minerales (IBCE, 2018). [1]

    3 (NoT) Agroindustriales, agrícolas, ganaderos, de caza, pesca, cultivo de bosques e industriales de manufactura básica. En el periodo 2014 a 2017 concentraron el 90 porciento en valor los siguientes productos: soya y derivados, quinua, nueces del Brasil, girasol y derivados, artículos de joyería (oro, plata), maderas y sus manufacturas, cueros y sus manufacturas, lácteos, azúcar, alcohol y derivados, confecciones textiles, bananas, frijol, palmitos y café. (IBCE, 2018). [1]

    4 Aún teniendo una significativa ampliación desde 2007 en su capacidad de carga de 133000 a 998000 (t por año), este puerto, para el comercio exterior boliviano es una opción limitada por el costo del flete carretero (104 dólares americanos por t). Además de no ejercer soberanía sobre la terminal portuaria de Matarani por parte de nuestro país. [2]

    5 Por su capacidad de carga (5000 t) e infraestructura es muy limitado (ausencia de rompe olas que permita a las embarcaciones operar en temporadas críticas), la vigencia de la concesión es por 90 años, vigente a partir de la suscripción de los convenios complementarios (2010). Otra desventaja está en el costo del transporte carretero de 1311 km para productos del oriente boliviano (82 dólares americanos por t), frente a un recorrido de 649 km navegables en un día de viaje hasta el sistema portuario del canal Tamengo que cuestan (75 dólares americanos por t). [2]

    6 Almacén que admite productos extranjeros libres del pago de gravámenes aduaneros por un plazo determinado o no salgan del depósito para su venta interna. [3]

    7 Área de un país delimitada geográficamente bajo régimen fiscal y aduanero especial, donde se pueden efectuar tareas industriales de producción, comercialización de bienes para exportación o reexportación, además de prestar servicios de logística vinculados con el comercio internacional (almacenamiento, transporte, seguros, etc.). [3]

    8 Su objetivo es desarrollar el comercio exterior boliviano promocionando fletes 20 a 30 porciento más bajos a los que se tiene en puertos chilenos. [2]

    9 La infraestructura portuaria está ubicada en puerto Quijarro, provincia Germán Busch, departamento de Santa Cruz, frontera con Brasil. Complejo portuario y zona franca comercial industrial, tiene plataformas de embarque y desembarque, terminales de carga, muelles especializados, instalaciones para el manejo de carga intermodal, productos a granel, embolsado, líquido (aceites comestibles e hidrocarburos) y todo tipo de carga general suelta o en contenedor. Tiene acceso a carreteras, más de seis km de desvíos ferroviarios, puertos fluviales del Brasil, Paraguay, Uruguay y Argentina, aeropuertos de Pto Suárez (Bolivia) y Corumbá (Brasil), ambos a 10 km. de su zona franca. [2]

    10 Tiene dos puertos propios con infraestructura portuaria para el transporte, recepción y embarque de materia prima. Se encuentra en la zona de puerto Quijarro, arroyo Concepción, sobre la frontera entre Bolivia y Brasil a 600 Km. [2], [4]

    11 Canal natural-artificial de 11 km de largo que conecta la Laguna Cáceres cerca de Puerto Suárez (Bolivia) con el río Paraguay frente a la ciudad de Corumbá (Brasil). [2], [6]

    12 En un proceso regulable, corresponde al conjunto de reglas que aseguran una decisión óptima en cada momento.

     

    Referencias Bibliográficas:

    [1] IBCE Instituto Boliviano de Comercio Exterior, 2018, Cifras del comercio exterior boliviano 2017, publicación N° 259, Santa Cruz - Bolivia, PDF disponible en: www.ibce.org.bo/publicaciones-descarga.php?id=2412&opcion=1,        [ Links ]

    [2] IBCE Instituto Boliviano de Comercio Exterior, 2017, Hidrovía Paraná - Paraguay HPP, publicación N° 254, Santa Cruz - Bolivia, PDF disponible en: ibce.org.bo/images/.../ce-254-Hidrovia-Paraguay-Parana,        [ Links ]

    [3] IBCE Instituto Boliviano de Comercio Exterior, 2014, TPA Terminal Portuaria Arica, publicación N° 225, Santa Cruz - Bolivia, PDF disponible en: www.ibce.org.bo/.../ce-225-TPA-plataforma-comercio-exterior-boliviano,        [ Links ]

    [4] Bolivia comercia con el mundo a través de 8 puertos del exterior www.paginasiete.bo/economia/2015/.../26/bolivia-comercia-mundo-traves-puertos-exterior-81467.html,

    [5] IBCE Instituto Boliviano de Comercio Exterior, 2016, Bolivia: Exportaciones al mundo según países destino, datos preliminares , Santa Cruz - Bolivia, PDF disponible en: ibce.org.bo/.../Bolivia-exportacion-segun-pais-de-destino-gestion-2016,        [ Links ]

    [6] ABIRH Asociación Boliviana de Ingeniería de Recursos Hídricos 2008, La Navegabilidad del Canal Tamengo, Simposio importancia de las hidrovías en el desarrollo de Bolivia, Cochabamba - Bolivia, PDF disponible en: https://www.bcr.com.ar/.../3.2%20La%20Navegabilidad%20del%20Canal%20Tamengo,        [ Links ]

    [7] IBCE Instituto Boliviano de Comercio Exterior, 2018, Bolivia: Exportaciones al mes de febrero del 2018, boletín electrónico 688, Santa Cruz - Bolivia, PDF disponible en: ibce.org.bo/ibcecifras/index.php?id=632,10Abr2018,        [ Links ]

    [8] La capacidad portuaria de Chile, rebasada por Bolivia - ASP-B www.aspb.gob.bo/.../la-capacidad-portuaria-de-chile-rebasada-por-bolivia/,

    [9] Empresarios bolivianos acusan "rebase" de puertos chilenos pese a https://portalportuario.cl/empresarios-bolivianos-acusan-rebase-de-puertos-chilenos-pese-a-inversiones-en-arica-y-antofagasta/.

     

    BIBLIOGRAFÍA

    Gonzales, G. J.A., 1976, Técnicas operativas para la toma de decisiones, Segunda parte, Contexto aleatorio programación dinámica, cadenas de Markov, ISBN: 84-7087-160-9, Madrid-España,        [ Links ]

    Bronson, R., 1990, Teoría y problemas de investigación de operaciones, Parte II, métodos probabilísticos, capítulo 18 Cadenas finitas de Markov, Colección Schaum, Ed. McGraw- Hill Interamericana, ISBN: 968-451-385-2, México,        [ Links ]

    Miller, I.R.T., Freund, E.J., Johnson, R., 1994, Probabilidad y estadística para ingenieros, Capítulo 3 Probabilidad, Cuarta Edición, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana S.A., ISBN: 0-13-712-761-8, México,        [ Links ]

    Rendón, T. A., Rodríguez, f. J., Morales, A. A., 1998, Introducción al álgebra lineal y de matrices, aplicaciones con Excel, Capítulo 7 operaciones con matrices usando Excel, Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco, ISBN: 970-654-297-3, Xochimilco-México,        [ Links ]

    www.academia.edu > capitulo_10_cadenas de Markov, PDF,

    Taha, H.A., 2012, Investigación de operaciones, Capítulo 17 Cadenas de Markov, Ed. Pearson Educación, novena edición, ISBN: 978-607-32-0796-6, México.        [ Links ]